TensorFlow基础¶

本章介绍TensorFlow的基本操作。

前置知识：

Python基本操作（赋值、分支及循环语句、使用import导入库）；
Python的With语句；
NumPy ，Python下常用的科学计算库。TensorFlow与之结合紧密；
向量和矩阵运算（矩阵的加减法、矩阵与向量相乘、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置等。测试题： $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = ?$ ）；
函数的导数，多元函数求导（测试题： $f(x, y) = x^2 + xy + y^2, \frac{\partial f}{\partial x} = ?, \frac{\partial f}{\partial y} = ?$ ）；
线性回归；
梯度下降方法求函数的局部最小值。

TensorFlow 1+1¶

我们可以先简单地将TensorFlow视为一个科学计算库（类似于Python下的NumPy）。这里以计算 $1+1$ 和 $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ 作为Hello World的示例。

import tensorflow as tf
tf.enable_eager_execution()

a = tf.constant(1)
b = tf.constant(1)
c = tf.add(a, b)    # 也可以直接写 c = a + b，两者等价

print(c)

A = tf.constant([[1, 2], [3, 4]])
B = tf.constant([[5, 6], [7, 8]])
C = tf.matmul(A, B)

print(C)

输出:

tf.Tensor(2, shape=(), dtype=int32)
tf.Tensor(
[[19 22]
[43 50]], shape=(2, 2), dtype=int32)

以上代码声明了 a、b、A、B 四个张量（Tensor），并使用了 tf.add() 和 tf.matmul() 两个操作（Operation）对张量进行了加法和矩阵乘法运算，运算结果即时存储于 c、C 两个张量内。张量的重要属性是其形状（shape）和类型（dtype）。这里 a、b、c 是纯量，形状为空，类型为int32；A、B、C 为2×2的矩阵，形状为 (2, 2)，类型为int32。

在机器学习中，我们经常需要计算函数的导数。TensorFlow提供了强大的 自动求导机制 来计算导数。以下代码展示了如何使用 tf.GradientTape() 计算函数 $y(x) = x^2$ 在 $x = 3$ 时的导数：

import tensorflow as tf
tf.enable_eager_execution()

x = tf.get_variable('x', shape=[1], initializer=tf.constant_initializer(3.))
with tf.GradientTape() as tape:     # 在 tf.GradientTape() 的上下文内，所有计算步骤都会被记录以用于求导
    y = tf.square(x)
y_grad = tape.gradient(y, x)        # 计算y关于x的导数
print([y.numpy(), y_grad.numpy()])

输出:

[array([9.], dtype=float32), array([6.], dtype=float32)]

这里 x 是一个初始化为3的变量（Variable），使用 tf.get_variable() 声明。与普通张量一样，变量同样具有形状（shape）和类型（dtype）属性，不过使用变量需要有一个初始化过程，可以通过在 tf.get_variable() 中指定 initializer 参数来指定所使用的初始化器。这里使用 tf.constant_initializer(3.) 将变量 x 初始化为float32类型的 3. [1]。变量与普通张量的一个重要区别是其默认能够被TensorFlow的自动求导机制所求导，因此往往被用于定义机器学习模型的参数。 tf.GradientTape() 是一个自动求导的记录器，在其中的变量和计算步骤都会被自动记录。上面的示例中，变量 x 和计算步骤 y = tf.square(x) 被自动记录，因此可以通过 y_grad = tape.gradient(y, x) 求张量 y 对变量 x 的导数。

在机器学习中，更加常见的是对多元函数求偏导数，以及对向量或矩阵的求导。这些对于TensorFlow也不在话下。以下代码展示了如何使用 tf.GradientTape() 计算函数 $L(w, b) = \|Xw + b - y\|^2$ 在 $w = (1, 2)^T, b = 1$ 时分别对 $w, b$ 的偏导数。其中 $X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, y = \begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}$ 。

X = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])
y = tf.constant([[1.], [2.]])
w = tf.get_variable('w', shape=[2, 1], initializer=tf.constant_initializer([[1.], [2.]]))
b = tf.get_variable('b', shape=[1], initializer=tf.constant_initializer([1.]))
with tf.GradientTape() as tape:
    L = 0.5 * tf.reduce_sum(tf.square(tf.matmul(X, w) + b - y))
w_grad, b_grad = tape.gradient(L, [w, b])        # 计算L(w, b)关于w, b的偏导数
print([L.numpy(), w_grad.numpy(), b_grad.numpy()])

输出:

[62.5, array([[35.],
   [50.]], dtype=float32), array([15.], dtype=float32)]

这里， tf.square() 操作代表对输入张量的每一个元素求平方，不改变张量形状。 tf.reduce_sum() 操作代表对输入张量的所有元素求和，输出一个形状为空的纯量张量（可以通过 axis 参数来指定求和的维度，不指定则默认对所有元素求和）。TensorFlow中有大量的张量操作API，包括数学运算、张量形状操作（如 tf.reshape()）、切片和连接（如 tf.concat()）等多种类型，可以通过查阅TensorFlow的官方API文档 [2] 来进一步了解。

从输出可见，TensorFlow帮助我们计算出了

$L((1, 2)^T, 1) &= 62.5 \frac{\partial L(w, b)}{\partial w} |_{w = (1, 2)^T, b = 1} &= \begin{bmatrix} 35 \\ 50\end{bmatrix} \frac{\partial L(w, b)}{\partial b} |_{w = (1, 2)^T, b = 1} &= 15$

基础示例：线性回归¶

考虑一个实际问题，某城市在2013年-2017年的房价如下表所示：

年份	2013	2014	2015	2016	2017
房价	12000	14000	15000	16500	17500

现在，我们希望通过对该数据进行线性回归，即使用线性模型 $y = ax + b$ 来拟合上述数据，此处 a 和 b 是待求的参数。

首先，我们定义数据，进行基本的归一化操作。

import numpy as np

X_raw = np.array([2013, 2014, 2015, 2016, 2017], dtype=np.float32)
y_raw = np.array([12000, 14000, 15000, 16500, 17500], dtype=np.float32)

X = (X_raw - X_raw.min()) / (X_raw.max() - X_raw.min())
y = (y_raw - y_raw.min()) / (y_raw.max() - y_raw.min())

接下来，我们使用梯度下降方法来求线性模型中两个参数 a 和 b 的值 [3]。

回顾机器学习的基础知识，对于多元函数 $f(x)$ 求局部极小值，梯度下降的过程如下：

初始化自变量为 $x_0$ ， $k=0$
迭代进行下列步骤直到满足收敛条件：
- 求函数 $f(x)$ 关于自变量的梯度 $\nabla f(x_k)$
- 更新自变量： $x_{k+1} = x_{k} - \gamma \nabla f(x_k)$ 。这里 $\gamma$ 是学习率（也就是梯度下降一次迈出的“步子”大小）
- $k \leftarrow k+1$

接下来，我们考虑如何使用程序来实现梯度下降方法，求得线性回归的解 $\min_{a, b} L(a, b) = \sum_{i=1}^n(ax_i + b - y_i)^2$ 。

NumPy¶

机器学习模型的实现并不是TensorFlow的专利。事实上，对于简单的模型，即使使用常规的科学计算库或者工具也可以求解。在这里，我们使用NumPy这一通用的科学计算库来实现梯度下降方法。NumPy提供了多维数组支持，可以表示向量、矩阵以及更高维的张量。同时，也提供了大量支持在多维数组上进行操作的函数（比如下面的 np.dot() 是求内积， np.sum() 是求和）。在这方面，NumPy和MATLAB比较类似。在以下代码中，我们手工求损失函数关于参数 a 和 b 的偏导数 [4]，并使用梯度下降法反复迭代，最终获得 a 和 b 的值。

a, b = 0, 0

num_epoch = 10000
learning_rate = 1e-3
for e in range(num_epoch):
    # 手动计算损失函数关于自变量（模型参数）的梯度
    y_pred = a * X + b
    grad_a, grad_b = (y_pred - y).dot(X), (y_pred - y).sum()

    # 更新参数
    a, b = a - learning_rate * grad_a, b - learning_rate * grad_b

print(a, b)

然而，你或许已经可以注意到，使用常规的科学计算库实现机器学习模型有两个痛点：

经常需要手工求函数关于参数的偏导数。如果是简单的函数或许还好，但一旦函数的形式变得复杂（尤其是深度学习模型），手工求导的过程将变得非常痛苦，甚至不可行。
经常需要手工根据求导的结果更新参数。这里使用了最基础的梯度下降方法，因此参数的更新还较为容易。但如果使用更加复杂的参数更新方法（例如Adam或者Adagrad），这个更新过程的编写同样会非常繁杂。

而TensorFlow等深度学习框架的出现很大程度上解决了这些痛点，为机器学习模型的实现带来了很大的便利。

TensorFlow¶

TensorFlow的 Eager Execution（动态图）模式 [5] 与上述NumPy的运行方式十分类似，然而提供了更快速的运算（GPU支持）、自动求导、优化器等一系列对深度学习非常重要的功能。以下展示了如何使用TensorFlow计算线性回归。可以注意到，程序的结构和前述NumPy的实现非常类似。这里，TensorFlow帮助我们做了两件重要的工作：

使用 tape.gradient(ys, xs) 自动计算梯度；
使用 optimizer.apply_gradients(grads_and_vars) 自动更新模型参数。

X = tf.constant(X)
y = tf.constant(y)

a = tf.get_variable('a', dtype=tf.float32, shape=[], initializer=tf.zeros_initializer)
b = tf.get_variable('b', dtype=tf.float32, shape=[], initializer=tf.zeros_initializer)
variables = [a, b]

num_epoch = 10000
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate=1e-3)
for e in range(num_epoch):
    # 使用tf.GradientTape()记录损失函数的梯度信息
    with tf.GradientTape() as tape:
        y_pred = a * X + b
        loss = 0.5 * tf.reduce_sum(tf.square(y_pred - y))
    # TensorFlow自动计算损失函数关于自变量（模型参数）的梯度
    grads = tape.gradient(loss, variables)
    # TensorFlow自动根据梯度更新参数
    optimizer.apply_gradients(grads_and_vars=zip(grads, variables))

在这里，我们使用了前文的方式计算了损失函数关于参数的偏导数。同时，使用 tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate=1e-3) 声明了一个梯度下降 优化器 （Optimizer），其学习率为1e-3。优化器可以帮助我们根据计算出的求导结果更新模型参数，从而最小化某个特定的损失函数，具体使用方式是调用其 apply_gradients() 方法。

注意到这里，更新模型参数的方法 optimizer.apply_gradients() 需要提供参数 grads_and_vars，即待更新的变量（如上述代码中的 variables ）及损失函数关于这些变量的偏导数（如上述代码中的 grads ）。具体而言，这里需要传入一个Python列表（List），列表中的每个元素是一个（变量的偏导数，变量）对。比如这里是 [(grad_w, w), (grad_b, b)] 。我们通过 grads = tape.gradient(loss, variables) 求出tape中记录的 loss 关于 variables = [w, b] 中每个变量的偏导数，也就是 grads = [grad_w, grad_b]，再使用Python的 zip() 函数将 grads = [grad_w, grad_b] 和 vars = [w, b] 拼装在一起，就可以组合出所需的参数了。

在实际应用中，我们编写的模型往往比这里一行就能写完的线性模型 y_pred = tf.matmul(X, w) + b 要复杂得多。所以，我们往往会编写一个模型类，然后在需要调用的时候使用 y_pred = model(X) 进行调用。关于模型类的编写方式可见下章。

[1]	Python中可以使用整数后加小数点表示将该整数定义为浮点数类型。例如 `3.` 代表浮点数 `3.0`。

[2]	主要可以参考 Tensor Transformations 和 Math 两个页面。可以注意到，TensorFlow的张量操作API在形式上和Python下流行的科学计算库NumPy非常类似，如果对后者有所了解的话可以快速上手。

[3]	其实线性回归是有解析解的。这里使用梯度下降方法只是为了展示TensorFlow的运作方式。

[4]	此处的损失函数为均方差 $L(x) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^5 (ax_i + b - y_i)^2$ 。其关于参数 `a` 和 `b` 的偏导数为 $\frac{\partial L}{\partial a} = \sum_{i=1}^5 (ax_i + b - y) x_i$ ， $\frac{\partial L}{\partial b} = \sum_{i=1}^5 (ax_i + b - y)$

[5]	与Eager Execution相对的是Graph Execution（静态图）模式，即TensorFlow在2018年3月的1.8版本发布之前所主要使用的模式。本手册以面向快速迭代开发的动态模式为主，但会在附录中介绍静态图模式的基本使用，供需要的读者查阅。